Kiến thức toán học Kiến thức vật lý Kiến thức hóa học Kiến thức lịch sử Kiến thức địa lý Kiến thức sinh học
17/07/2014 | 11:15:38

Hệ tọa độ trong không gian

Hệ trục tọa độ trong không gian :


-    Định nghĩa: Hệ gồm 3 trục Ox,Oy,Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian
Thuật ngữ và ký hiệu:
-    Hệ trục tọa độ trong định nghĩa trên còn được gọi đơn giản là hệ tọa độ trong không gian, ký hiệu là Oxyz. Ta thường gọi các vecto đơn vị trên các trục Ox,Oy,Oz lần lượt là \(\overrightarrow{i}\),\(\overrightarrow{j}\),\(\overrightarrow{k}\) và còn ký hiệu hệ trục tọa độ là (O; \(\overrightarrow{i}\) , \(\overrightarrow{j}\),\(\overrightarrow{k}\)). Điểm O gọi lả gốc của hệ tọa độ, Ox gọi là trục hoành, Oy là trục tung và Oz là trục cao
-    Các mặt phẳng đi qua 2 trong 3 trục tọa độ gọi là các mặt phẳng tọa độ, ta ký hiệu chúng là mp(Oxy), mp(Oyz) và mp(Ozx) hoặc đơn giản hơn là (Oxy),(Oyz),(Ozx)
-    Khi không gian đã có 1 hệ tọa độ Oxyz thì nó được gọi là không gian tọa độ Oxyz hoặc đơn giản hơn là không gian Oxyz

Tọa độ của vecto
-    Trong không gian tọa độ Oxyz với các vecto đơn vị \(\overrightarrow{i}\),\(\overrightarrow{j}\),\(\overrightarrow{k}\) trên các trục, cho 1 vecto \(\overrightarrow{u}\). Khi đó có bộ 3 số duy nhất (x;y;z) sao cho \(\overrightarrow{U}\)=\(\overrightarrow{xi}\)+\(\overrightarrow{yj}\)+\(\overrightarrow{zk}\). Bộ 3 số đó gọi là tọa độ của vecto \(\overrightarrow{u}\)đối với hệ tọa độ Oxyz và ký hiệu  hoặc\(\overrightarrow{u}\)(x;y;z)
Vậy:\(\overrightarrow{u}\)=(x;y;z)⇔\(\overrightarrow{u}\)(x;y;z)⇔\(\overrightarrow{u}\)=\(\overrightarrow{xi}\)+\(\overrightarrow{yj}\)+\(\overrightarrow{zk}\)
Hiển nhiên ta có: \(\overrightarrow{i}\)=(1;0;0);\(\overrightarrow{j}\)=(0;1;1);\(\overrightarrow{k}\)=(0;0;1)
Từ định nghĩa về tọa độ của vecto, ta dễ dàng suy ra các tính chất sau:
Cho các vecto \(\overrightarrow{u1}\)=(x1;y1;z1),\(\overrightarrow{u2}\)=(x2;y2;z2),\(\overrightarrow{u3}\)=(x3;y3;z3) và số k tùy ý, ta có
1) \(\overrightarrow{u1}\)=\(\overrightarrow{u2}\)⇔x1=x2,y1=y2,z1=z2

2) \(\overrightarrow{u1}\)±\(\overrightarrow{u2}\)=( x1 ± x2 ; y1 ± y2 ; z1 ± z2 )

3) k\(\overrightarrow{u1}\)=(kx1 ;kx2 ;kx3)

4)\(\overrightarrow{u1}\).\(\overrightarrow{u2}\) = x1x2 + y1y2 + z1z2

5)∣\(\overrightarrow{u1}\)∣=\( \sqrt{\overrightarrow{u1}^2}\)=\( \sqrt{x1^2 +y1^2 +z1^2 }\)

6)cos(\(\overrightarrow{u1}\),\(\overrightarrow{u2}\))=\({{x1x2 + y1y2 + z1z2 } \over \sqrt{x1^2 +y1^2 +z1^2 } . \sqrt{x2^2 +y2^2 +z2^2 }}\)     (\(\overrightarrow{u1}\) ≠ 0,\(\overrightarrow{u2}\) ≠ 0)

7)\(\overrightarrow{u1}\)  ⊥ \(\overrightarrow{u2}\)   ⇔ \(\overrightarrow{u1}\)  . \(\overrightarrow{u2}\) = 0 ⇔ x1x2 + y1y2 + z1z2 =0

Tọa độ của điểm
      Trong không gian tọa độ Oxyz, mỗi điểm M được hoàn toàn xác định bởi vecto \(\overrightarrow{OM}\). Bởi vậy, nếu (x;y;z) là tọa độ của\(\overrightarrow{OM}\) thì ta cũng nói (x;y;z) là tọa độ của điểm M và ký hiệu là M=(x;y;z) hoặc M(x;y;z)
Như vậy: M=(x;y;z)⇔\(\overrightarrow{OM}\) = \(\overrightarrow{xi}\)+\(\overrightarrow{yi}\)+\(\overrightarrow{zk}\)

Số x gọi là hoành độ, y là tung độ và z là cao độ của điểm M

*.Liên hệ giữa tọa độ của vecto và tọa độ của 2 điểm mút
           Cho 2 điểm A(xA;yA;zA)&B(xB;yB;zB). Khi đó ta có:
           1)  \(\overrightarrow{AB}\)=(xB−xA;yB−yA;zB−zA)

*. Phương trình mặt cầu:
Trong không gian tọa độ Oxyz , mặt cầu tâm I(x0;y0;z0), bán kính R có phương trình:
(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=R2
Phương trình x2+y2+z2+2ax+2by+2cz+d=0 là phương trình của mặt cầu khi và chỉ khi a2+b2+c2>d. Khi đó tâm mặt cầu là điểm I(−a;−b;−c) và bán kính: R=\( \sqrt{a^2 + b^2 +c^2 - d }\)

 

 

Top điểm cao trong 7 ngày qua

Đề thi trắc nghiệm mới

Công cụ trực tuyến hỗ trợ giáo dục
Copyright © MaTran.vn 2016. All rights reserved.